Postagens realizadas por Carlos e João Paulo.

Teorema de Pitagoras
O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:


Não se sabe ao certo qual foi a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela foi feita através da comparação de áreas, conforme se segue:
Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.







1. Desenha-se um quadrado de lado b + a;
2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
3. Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a b2 + a2;
5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas colocamos os quatro triângulos retos em outra posição.
6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a c2.
Como b2 + a2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c2 representa a mesma área, b2 + c2 = a2. Ou seja: em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida a foi chamado de hipotenusa e os de medida b e c foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema. Nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.


Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base este famoso teorema
Por semelhança de triângulos





Multiplicando tudo por c:

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:
Quadrado



A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:



Triângulo equilátero
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:




Seja A = (x1,y1) e B = (x2,y2). Para auxiliar, seja C = (x2,y1).
Como A e C possuem mesma ordenada, .
Como B e C possuem mesma abcissa,
Então
Generalizações
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.
O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

O teorema de Pitágoras na geometria esférica e hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
na geometria esférica, tem-se

na geometria hiperbólica tem-se


Circunferência inscrita num triângulo retângulo
O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:
a + b = c + d

*a = cateto
*b = cateto
*c = hipotenusa
*r = raio da circunferência inscrita
*d = diâmetro da circunferência inscrita

Substituindo I e II em III, teremos

Como
Os Pitagoricos

“Os números são o princípio, a fonte e a raiz de todas as coisas”
Frase proferida por Pitágoras

Este era o princípio da Escola pitagórica, a qual atribuem-se inúmeras contribuições nos ramos da Matemática, Geometria e Filosofia. A confraria pitagórica foi uma seita secreta, de caráter religioso, que reuniu cerca de 300 jovens homens que se dedicavam ao estudo da Matemática e da Filosofia. Eles participavam ativamente da política local, apesar de não se misturarem com os outros cidadãos, e usavam essas duas disciplinas para a formação moral dos participantes, que viviam juntos no Centro em Crotona - cidade da península itálica - em regime de comunhão de bens.

O símbolo da confraria pitagórica era uma estrela de cinco pontas (ou vértices) dentro de um pentágono. A divisão exata dos segmentos da estrela mostra que eles já sabiam como fazer a divisão de segmentos de retas e já conheciam os números racionais.






Estrela Pitagórica

Todos os ensinamentos da doutrina pitagórica deveriam ser mantidos em segredo total, caso contrário, o “traidor” seria expulso da seita. Algumas histórias contam que os membros que revelassem algum ensinamento para pessoas de fora eram amarrados em barcos e deixados à deriva em alto-mar. Outras histórias contam que os pitagóricos construíam lápides para o delator, simbolizando sua morte.

Pitagóricos conhecidos

De alguns dos pitagóricos mais importantes só se sabe o nome, mas a maioria é desconhecida. E dos conhecidos sabe-se muito pouco. Vários fatos sobre eles são obscuros e não confirmados. O que se afirma com certeza é que todos foram brilhantes matemáticos e pensadores.
Pitágoras de Samos: foi um filósofo grego do período pré-socrático. Nasceu no ano 570 a.C. em Samos, uma ilha do litoral da Grécia, no Mar Egeu. Conta-se que ele viajou pela Pérsia, Creta e Egito. Mudou-se para Crotona quando tinha entre trinta e quarenta anos. Era respeitado na cidade como um grande sábio, e os moradores comentavam que ele tinha poderes sobrenaturais, como a capacidade de estar em vários lugares ao mesmo tempo e recordar suas vidas passadas. Quando já estava no final da vida, divergências políticas causaram sua expulsão da cidade e ele foi obrigado a ir morar em Metaponto, cidade ao norte de Crotona da qual era aliada, onde morreu por volta de 500 a.C. ou 495 a.C.. Apesar de ser bastante conhecido, a sua existência é muito questionada, mas o pitagorismo (sua doutrina) não é alvo de dúvidas, além de ser considerado muito importante. “O pitagorismo foi o meio no qual a Filosofia tornou-se, pela primeira vez, tanto uma maneira de viver quanto uma disciplina de especulação intelectual” - J.V. Luce

Pitágoras de Samos
Filolaus de Crotona: era um pensador de Crotona, nascido no século V a.C.. Pouco se sabe sobre ele, mas é dito que, após a destruição da Escola pitagórica, ele morou algum tempo em Tebas (Egito) e escreveu um livro a respeito dos pitagóricos. Ele foi chefe da Escola de Tebas e continuou sua atividade até a morte, no início do século IV a.C.. Filolaus de Crotona foi médico, astrônomo e concebeu um sistema referente ao Universo no qual a Terra não era um astro privilegiado, e sim, um corpo celeste igual aos outros.
Arquitas de Taranto: nascido em Taranto, na Magna Grécia, no ano 430 a.C., foi general, estadista e filósofo grego. Na Escola Pitagórica, era interessado pela astronomia, mecânica e pela Teoria musical. Principal representante da Escola de Taranto, cuja maior obra foi o estabelecimento da terminologia geométrica. Por ser um excelente estrategista, garantiu que Taranto fosse considerada, durante vários anos, o centro econômico e intelectual da Itália. Morreu em 360 a.C.


“Números formam o Universo todo” - afirmação de Filolaus de Crotona

O que os discípulos de Pitágoras queriam dizer com essa afirmação é que não só os objetos físicos e reais, os seres viventes e o próprio homem, como os fenômenos atmosféricos, os corpos celestes e os movimentos existiam devido aos números. Muitas das suas crenças conhecidas hoje são de veracidade duvidável devido ao voto de silêncio dos pitagóricos. No entanto, é certo que eles acreditavam que tudo era regido por números e, se algo não pudesse ser explicado por números, não existia. Para eles, os números e as figuras geométricas tinham “poderes especiais”, sendo que o Criador do Universo (Deus) era um geômetra.
Essa crença surgiu após a constatação pelos pitagóricos de que a harmonia musical e as figuras geométricas podiam ser explicadas pelos números, além de que todas as coisas podiam ser contadas.
Eles haviam descoberto uma relação numérica simples na harmonia musical. Por isso, acreditavam que as mesmas relações da harmonia musical também regiam a harmonia do Universo no que eles chamavam de “a música das esferas”. De acordo com essa teoria, os intervalos entre os corpos celestes e o “grande fogo central” corresponderiam aos intervalos da escala musical, produzindo uma melodia que seria inaudível aos ouvidos humanos. Essa crença remete à idéia de que a natureza também pode ser explicada através de cálculos, essencial à Física. Essa relação entre harmonias também era usada para tentar explicar a psique ou alma humana.

Supunham, também, que todos os corpos, seres viventes e sólidos geométricos eram formados “por átomos em certa quantidade”, as mônadas. Diziam que essa quantidade poderia ser muito grande, mas era FINITA (isso leva a crer que eles acreditavam que o Universo era finito).

Acreditavam que os números eram iguais à matéria. Assim, o número “um” era um ponto; o número “dois” era uma reta; o “três” era uma superfície; e o “quatro” era um sólido (geométrico). A soma de cada elemento gerava outro. Por exemplo, pontos somados geravam retas; a soma das retas gerava superfícies que, somadas, geravam os sólidos. Desta maneira, “um”, “dois”, “três” e “quatro” construíam ou geravam tudo! Estes números somados são iguais a “10”, motivo pelo qual o número “dez” era especial para os pitagóricos. Eles o representavam como um triângulo, que era chamado de “o triângulo perfeito”, denominado tetraktys, que significa conjunto de quatro elementos. Este número significava tanto para os pitagóricos que eles o viam como a base para tudo e acreditavam que o próprio Criador do Universo havia confiado ao tetraktys a alma dos seres, a fonte e a origem da Natureza. Com esse pensamento, eles revolucionaram o sistema numérico, criando o sistema decimal de numeração, usado por todos os povos ocidentais até os dias presentes.
Tal era sua fascinação pelos números que os pitagóricos lhes deram nomes e qualidades. Os números eram classificados em masculinos e femininos, pares e ímpares, perfeitos e imperfeitos. Os números pares eram considerados femininos, e os ímpares - exceto o “1”- eram considerados masculinos. O “5” representava o casamento por ser a junção do primeiro número feminino - 2 - com o primeiro número masculino - 3. O “1” era a fonte de todos os outros, sendo também chamado de “Deus”. O “2” também era conhecido por “Intelecto”, a fonte de todas as idéias, e o “3”, de “Filho”, o terceiro elemento da família. O “4” significava “Matéria, e o “5”, além de casamento, também era chamado de “Caos”. O “6” representava a “Confusão”; o “7” era o “Sol”; o “8” era “Apolo”, o Deus grego do Sol e das Belas Artes; e o “9” era “Atlas”, o Titã da mitologia grega que sustentava os céus. As qualidades sobrenaturais atribuídas aos números (não só pelos pitagóricos) deram origem à Numerologia, que acredita que os números regem a vida e o destino das pessoas.
Também estabeleciam relações entre os números. Uma curiosidade muito interessante é a relação entre os números 220 e 284, chamados de “Amigos”. Todos os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, excluindo o próprio 220. Se somados, eles resultam em 284. Fazendo o mesmo com 284, os divisores serão 1, 2, 4, 71 e 142, que somados resultarão em 220. Eles também encontraram um “número perfeito”, que é um número resultante da soma de seus divisores, e o “número de ouro”, que era a razão entre o maior e o menor segmento da Estrela que era seu símbolo.
No entanto as crenças pitagóricas não envolviam apenas números. Como a seita tinha caráter religioso, eles tinham crenças que explicavam a existência ou não-existência humana, estudadas por eles na Filosofia. Os pitagóricos pregavam que o corpo humano era o “túmulo da alma”. Quando o corpo (prisão) morria, a alma se libertava e renascia. Diziam que para manter a alma imaculada e limpa durante seu confinamento, era proibido comer favas (vagens), galos brancos e alguns tipos de peixes e não podiam apanhar o alimento que caísse das mesas.
Tinham que manter a alma limpa pois acreditavam na metempsicose ou transmigração da alma. Esta, que é uma das crenças mais difundidas dos pitagóricos, dizia que a mesma alma podia animar diferentes corpos, não importando se eram de origem vegetal, animal ou mineral. Este ciclo de reencarnações da alma tinha por objetivo purificá-la - caso houvesse alguma maldade nela - para que, no final do ciclo, a alma pudesse alcançar o paraíso ou a Ilha dos Bem-Aventurados.
Escreveram uma escatologia pitagórica, que é um tratado sobre as ações finais do homem ou de sua alma. Diz o tratado que “a alma, após a morte do corpo, está sujeita a um julgamento divino. Aquelas que forem perversas serão castigadas nos mundos inferiores e aquelas que forem boas, ou não possuírem maldade, alcançarão a Ilha dos Bem-Aventurados”.

Criações Pitagóricas

Mas os pitagóricos não viviam somente de crenças. O seu estudo compreendia o que hoje chamamos de números racionais, usados por eles no estudo da Música, uma das quatro vertentes principais da Matemática, que eram Geometria, Aritmética, Astronomia e Música. No entanto, sua descoberta mais importante foi o Teorema de Pitágoras, ou Propriedade Fundamental dos Triângulos Retângulos, aplicável a todos os triângulos retângulos. Esta propriedade diz que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa” (A2=B2+C2, sendo “A” a hipotenusa e “B” e “C” os catetos). A sua importância é tão grande que, mesmo após 2000 anos de existência, ele continua sendo estudado e utilizado.




Teorema de Pitágoras

O Teorema é usado até hoje na construção de telhados triangulares para as casas, calculando as medidas que as vigas do traçado principal devem ter, respeitando a inclinação e outros fatores como, por exemplo, o tipo de telha. É muito usado na construção civil, pois muitos dos elementos de uma construção (paredes, portas etc.) se relacionam através de ângulos retos. A própria construção é perpendicular ao chão. Aliás, foi quando começaram as construções de grandes templos e casas que surgiu a necessidade da construção de ângulos retos.



Vigas principais de um telhado

No entanto, como eles comprovaram que todos os triângulos retângulos estavam sujeitos ao Teorema de Pitágoras? Os pitagóricos desenvolveram um método de raciocínio lógico denominado Método Dedutivo, que prova a veracidade de um fato através de argumentos lógicos, precisos e irrefutáveis. Este método é usado em várias ciências até hoje devido a sua importância e eficácia. Um exemplo clássico são os detetives. Eles usam esta técnica para seguir apenas o provável culpado e descartarem os demais, através de provas ou verdades inquestionáveis. Mas sempre há um ponto de partida, que são as evidências prováveis. Simplificando, o Método Dedutivo parte de evidências, que são testadas. Se acontecer de várias experiências darem resultados iguais, foi encontrada uma “regularidade”. Esse processo de testes é chamado de Indução. Feito isso, aplicam-se as regularidades a casos específicos, no processo chamado de Dedução, que pode gerar novas evidências que serão novamente testadas por indução, até surgirem argumentos indiscutíveis e conclusivos. Assim, tanto os detetives quanto os matemáticos seguem o Método Dedutivo para provar suas idéias. As “verdades” constatadas deste modo são denominadas Teoremas (daí o nome TEOREMA de Pitágoras).
Os pitagóricos (ou o próprio Pitágoras) ainda criaram uma tábua de multiplicações, de forma quadrada que pode ter infinitos números, chamada de Tábua de Pitágoras. Essa tábua é aplicável a qualquer multiplicação.








Tábua Pitagórica

Os pitagóricos mudaram os conceitos atribuídos à Matemática pelas civilizações anteriores (egípcios e babilônios). Para aquelas civilizações, a Matemática era puramente prática, mas para os discípulos de Pitágoras, era uma disciplina filosófica, o que explica o fato de muitos dos seus rituais possuírem conceitos matemáticos. Assim, a Matemática foi incluída nas Ciências Naturais, e os matemáticos passaram a fazer parte da elite pensadora, junto com os filósofos.



O Número de Ouro

Este número, com valor aproximado igual a 1,61803398, é representado pela letra grega  (phi), em homenagem a Fídias (490-431 a.C.), escultor grego da estátua da deusa Atena e de Zeus, e arquiteto do Partenon, o templo da capital Atenas, porque é dito que ele usava o número em suas obras. Este é o primeiro número irracional registrado, e por se tratar da razão entre dois números, que sempre dará o mesmo resultado já citado, também é chamado de “razão áurea”. Os pitagóricos o utilizaram na idealização de sua Estrela. De fato, o número é a razão entre os segmentos da mesma, por isso, ela tem uma aparência regular e simétrica.
O número de ouro é usado para conferir harmonia e “perfeição” aos objetos, e isso fez com que muitos projetos de obras grandiosas usassem tal recurso. Exemplos disso são: a Monalisa de Leonardo Da Vinci, as Pirâmides de Gizé (Egito), o prédio das Nações Unidas em Nova Iorque (EUA), e mesmo objetos comuns como cartões de crédito.






O Fim da Escola Pitagórica

Uma descoberta matemática da Escola que surgiu por volta do ano 400 a.C. ameaçou destruir toda a doutrina pitagórica. A ironia é que a tal descoberta foi conseqüência direta de sua obra mais importante, o Teorema de Pitágoras.
Hipaso (um ilustre membro da Escola) de Metaponto (a mesma cidade onde Pitágoras morreu) demonstrou que nem sempre a razão numérica entre dois segmentos de reta resulta em um número racional. Hipaso demonstrou matematicamente que um número, raiz quadrada de dois ou de cinco - não há certeza -, não podia ser expresso como um número racional. Isto significava que nem todos os elementos podiam ser expressos através de números - inteiros ou racionais - e que existiam outros números além destes. Esta descoberta pôs fim à crença pitagórica de que tudo podia ser expresso ou explicado por números. Com isso, os participantes juraram nunca divulgar a notícia de que suas idéias haviam sido destruídas. Mas Hipaso de Metaponto divulgou sua descoberta para pessoas que não pertenciam à seita, motivo que o levou a ser expulso da confraria. Algumas histórias contam que, além de expulso, ele foi morto por afogamento, pois foi jogado, preso, por seus antigos colegas no mar. Mesmo assim, a idéia dos números irracionais não foi destruída (aliás, essa foi outra importante contribuição pitagórica para a humanidade). Conta-se que, após estes acontecimentos, os pitagóricos enlouqueceram ou caíram em profunda depressão e desgosto. O Centro em Crotona foi destruído por um grupo político rival, sendo que muitos dos membros foram assassinados.









Sobrevivência do Conhecimento

Caso tenha realmente existido, o mestre Pitágoras de Samos deixou muitas contribuições, sendo a mais importante e conhecida o Teorema de Pitágoras. Atribui-se a ele também a criação das palavras “Filosofia” (“amor à sabedoria”) e “Matemática” (“o que é aprendido”). Porém, ele nada escreveu da sua doutrina. Muito do conhecimento e da doutrina pitagóricos foi perdido, mas algumas de suas crenças e idéias foram salvas graças a Filolaus (ou Filolau) de Crotona, pois ele escreveu um livro a respeito, que teria sido adquirido mais tarde por Platão, outro importante filósofo grego da Antiguidade.
Conta-se que, após a destruição do Centro em Crotona, os sobreviventes se dispersaram por diversas cidades da Grécia, levando e espalhando seus conhecimentos e teorias. Alguns ainda foram lecionar em outras escolas, mas sempre levando suas idéias pitagóricas.

Se pensarmos como os pitagóricos, tudo o que temos à nossa volta depende, de alguma forma, de números. Eles pensavam sobre e conheciam apenas os números racionais, mas atualmente, conhecemos os números irracionais, negativos etc., o que nos permite, sim, dizer que tudo é formado, ou depende de alguma maneira para existir, dos números. Exemplos disso são os computadores, as pesquisas genéticas (o próprio formador dos seres vivos é ilustrado por meio de números) etc.. Além disso, as fórmulas da Física e da Matemática se aplicam à Natureza e aos fatores influenciadores dela, como os movimentos dos corpos e estados da matéria, admitindo a explicação dos pitagóricos de que tudo, pode ser explicado através dos números.
É isso que faz da Escola Pitagórica um evento tão importante para a história humana. Suas crenças nos números e suas conseqüentes descobertas influenciaram o pensamento da vida posterior, ajudando na compreensão do mundo e do Universo. Basta
imaginar como tudo seria mais complicado e menos duradouro sem o Teorema de Pitágoras, sem o sistema decimal, sem o Método Dedutivo e, lógico, sem a descoberta dos números irracionais.

(Adair, Marllon e Tiago)

Matriz

Determinantes
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):


Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Determinante de uma matriz quadrada
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
A= a11 a12
a21 a22
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11 a22 - a21 a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
definimos o determinante de A, como:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Sarrus
Dada a matriz A de ordem 3:
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor amarela +a11a22a33
Produto cor verde +a12a23a31
Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor rosa -a11a22a33
Produto cor bege -a12a23a31
Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:



P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:




P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:






Determinantes
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:



P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:




P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:









Determinantes
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:



P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:

P12)
Exemplo:



Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:

1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:


A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:

A matriz At é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .
Produto de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

• O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
• det (A) = ½ A½ = ad - bc
Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:

.2 3 5
.1 7 4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.

P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.

P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde
aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resp: zero




Matrizes
Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Por exemplo:
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.


Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:
•
•

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:



b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:






Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:



P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:




P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:



P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:




P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:




P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:



P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:

P12)
Exemplo:

Determinantes
Determinante é um número que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo símbolo .
Assim, se , o determinante de é indicado por:

O cálculo de um determinante é efetuado através de regras específicas que estudaremos mais adiante. É importante ressaltarmos alguns pontos:
1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes.
2. O determinante não representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz é uma tabela, e não há significado falar em valor de uma tabela.
Determinante de Ordem
Dada uma matriz quadrada de ordem , o seu determinante é o número real :



Exemplo




Determinante de Ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a , determinante de ordem, é dado por:



Determinante de Ordem
Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus, que só se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante



passo:
Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

passo:
Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

passo:
Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:



Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento de uma matriz , quadrada de ordem , o determinante , de ordem , associado à matriz obtida de quando suprimimos a linha e a coluna que passam por . Por exemplo, dada a matriz



de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:



De modo análogo, para obtermos o menor complementar relativo ao elemento , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:



Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenção do menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente, por exemplo, sendo



de ordem 3, temos:



Cofator
Chama-se de cofator de um elemento de uma matriz quadrada o número tal que

Exemplo
Considerando
calcularemos o cofator . Temos que e , logo: . Devemos calcular .



Assim
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.
Desta forma, fixando , tal que , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , .
Exemplo:
Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace:



Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos:

Observação
Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo número real.
Propriedades dos determinantes
) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
) Se os elementos de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por .
) Para e matrizes quadradas de mesma ordem , . Como , .
) Se , então .
Pense um Pouco!
• Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas?
Exercícios de Aplicação

1. (ACAFE) O valor do determinante é:
a)
b)
c)
d)
e)

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem , com e com se , e se .
Determine:
a) a matriz
b) a matriz
c) a matriz
d) o determinante da matriz

3. (UDESC) A partir da matriz , onde , calcular o determinante do produto da matriz pela sua transposta, ou seja: , onde é a matriz transposta de .
Exercícios Complementares

4. (UNIFENAS) Dada a matriz o determinate de sua matriz inversa é:
a)
b)
c)
d)
e)

5. (MACK) e são matrizes quadrdas de ordem e . Sabe-se que e . Então:
a)
b)
c)
d)
e)

6. (PUC) O cofator do elemento da matriz é:
a)
b)
c)
d)
e)

7. (UDESC) Seja uma matriz quadrada de ordem , apresentada abaixo, cujo determinante é igual a .



Considerando , determinar o valor de .








Determinantes
A matriz e os determinantes não são encontrados apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras, e dentre outras. Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.
Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer as regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome e podemos também aplicar nelas as quatro operações.

Determinante é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo numero de linhas e o mesmo número de colunas que é chamada de matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem as suas propriedades, como achar o valor numérico de um determinante.

Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de colunas).

• Determinantes de matrizes de ordem 1

Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]

O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:

det A = | 1 | = 1

det B = | -5 | = -5

OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes.

• Determinantes de matrizes de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada uma matriz de ordem 2:




O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.


Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2

• Determinantes de matrizes de ordem 3

O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo diferente. Veja como é feito.

Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A:



Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais, veja:



Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.

det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59

Esse processo é chamado de regra de Sarrus.














a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64

RESPOSTA: D


a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4

RESPOSTA: A


a) não se define;
b) é uma matriz de determinante nulo;
c) é a matriz identidade de ordem 3;
d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
e) não é matriz quadrada.

RESPOSTA: B


a) duas linhas proporcionais;
b) duas colunas proporcionais;
c) elementos negativos;
d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;
e) duas filas paralelas iguais.

RESPOSTA: D


a) -9
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9

RESPOSTA: E


é igual a:

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11

RESPOSTA: C



RESOLUÇÃO: det M = 21


a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) 3

RESPOSTA: D



a) x > 2
b) 0 < x < 5
c) x < -2
d) x > 5
e) 1 < x < 2

RESPOSTA: C





a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 1131

RESPOSTA: C






Matrizes
Sejam m e n dois números naturais não nulos. Chama-se matriz do tipo m ´ n (lê-se m por n) qualquer tabela de m × n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Uma matriz A genérica, do tipo m ´ n, pode ser representada da seguinte maneira:



1. Construa a matriz A = (aij)3´3 tal que aij = i + j. Note que a matriz A é quadrada de ordem 3, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas, pois foi explicitado que é do tipo 3 ´ 3.
A =
Calcule cada elemento da matriz conforme a lei de formação - aij = i + j - atribuindo os valores 1, 2 e 3, para i e j.
aij = i + j
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a13 = 1 + 3 = 4
Já construímos a primeira linha. Agora, calcule os outros elementos da matriz A.
A =

Igualdade de matrizes
Dizemos que duas matrizes A e B, do mesmo tipo m ´ n, são matrizes iguais se e somente se cada elemento de A é igual ao elemento correspondente em B. Assim, para A = (aij)m ´ n e B = (bij)m ´ n, teremos:
A = B Û aij = bij

2. Obtenha o valor de x e de y na igualdade .
Operações com matrizes

ADIÇÃO DE MATRIZES
Sejam duas matrizes quaisquer do mesmo tipo m ´ n. A adição das matrizes A e B é uma matriz C, também do tipo m ´ n, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes de A e B.
A = (aij)m ´ n, B = (bij)m ´ n e C = (cij)m ´ n

3. Efetue a adição das matrizes indicada abaixo:


SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sejam duas matrizes A e B quaisquer do mesmo tipo m ´ n. A subtração das matrizes A e B é uma matriz C, do mesmo tipo m ´ n, que se obtém adicionando as matrizes A e -B, isto é:
C = A - B = A + (-B)

4. Dadas as matrizes A = e B = :
a) encontre a matriz -B;
b) calcule A - B, isto é A + (-B).

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Seja A uma matriz qualquer e a um número real qualquer. O produto de a por A é uma matriz denotada por a × A, do mesmo tipo de A, que se obtém multiplicando todos os elementos de A por a.

5. Efetue as operações sendo dadas as matrizes A = e B = :
a) A
b) B
c) (A + B)

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dadas as matrizes A e B quaisquer, o produto A × B estará definido se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Uma vez respeitada essa condição, o produto de A por B será uma matriz C, tal que:

Am ´ n × Bn ´ p = Cm ´ p

6. Efetue a multiplicação entre as matrizes A = e B = .
Faça agora as operações entre a 2ª linha de A com a 1ª coluna de B e complete a matriz resultante:
A × B = =
7. A dieta chamada dia-a-dia consiste em alimentos do tipo X e Y. A matriz N representa a composição dos nutrientes 1, 2 e 3 em porções de 200 gramas de alimento.

As matrizes C, A e J representam quantas porções de cada alimento se podem ingerir diariamente no café da manhã, almoço e jantar, respectivamente.

Calcule e interprete os seguintes produtos de matrizes:
a) CN;
b) AN;
c) JN.

MATRIZ INVERSA
Duas matrizes A e B, quadradas de ordem n, são inversas se e somente se ocorrer:
A × B = B × A = In (In é a matriz identidade de ordem n)
A matriz inversa de uma matriz A é denotada pelo símbolo A-1.

8. Determine a inversa da matriz A = . Para determinar a inversa de uma matriz, devemos resolver a equação matricial A × A-1 = In. Assim, temos:
. = ® =
Resolva os sistemas e encontre o valor de a, b, x e y, encontrando assim a matriz A-1.

9. Obtenha o elemento a12 da matriz inversa de A =

Determinantes
A toda matriz quadrada A está associado um número denominado determinante de A, que denotamos por det A.
DETERMINANTE DE ORDEM 1
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz.
A = (a) Þ det A = a
DETERMINANTE DE ORDEM 2
O determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos elementos da diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária.

DETERMINANTE DE ORDEM 3
Para a matriz de 3ª ordem
A = Þ det A = aqz + brx + cpy - cqx - bpz - ary
Podemos empregar a regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuar os produtos:



10. Calcule os seguintes determinantes:
a)
Dica: Use a adição e a subtração de arcos estudadas no capítulo de trigonometria.
b)
Dica: Antes de resolver o determinante, calcule cada logaritmo.
11. Determine o conjunto solução da equação = 0
Dica: Ao definir o determinante, você terá que resolver uma equação exponencial.

Menor complementar
Chama-se menor complementar do elemento aij o determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j às quais pertence o elemento aij. O menor complementar de um elemento aij é denominado Mij.

12. Dada a matriz A = , calcule M11
Inicialmente, elimine a 1ª linha e a 1ª coluna, uma vez que o menor complementar é do elemento a11.

Os números que sobraram formam o menor complementar. Devemos calcular seu determinante.
M11 = = 2 - 15 = -13; logo, M11 = -13.
Calculemos M13.
Devemos eliminar a 1ª linha e a 3ª coluna.

Eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna, sobrou uma matriz de ordem 2. Devemos calcular seu determinante.
M13 = = 6 - 3 = 3; logo, M13 = 3.
Calcule agora o menor complementar de:
a) M22;
b) M31.

Cofator
Dados uma matriz A, quadrada, de ordem n ³ 2, e aij, um elemento qualquer de A. Chama-se cofator do elemento aij e indica-se por Aij o número definido por:
Aij = (-1)i+j × Mij
em que Mij é o menor complementar de aij.
Dica: Para facilitar o cálculo do cofator, lembre-se de que:
Ø se i + j for par ® (-1)i+j = 1;
Ø se i + j for ímpar ® (-1)i+j = -1.

13. Dada a matriz A = :
a) calcule det A;
b) calcule A31, A32 e A33;
c) compare det A com a31A31 + a32A32 + a33A33

Teorema de Laplace
Para calcularmos o determinante de uma matriz qualquer, usaremos o teorema de Laplace. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. De forma genérica, o teorema de Laplace pode ser enunciado para um elemento aij qualquer de uma matriz A, quadrada de ordem n, da seguinte forma:
det A = (escolhendo uma linha i)
ou
det A = (escolhendo uma coluna j)


14. Calcule o determinante
det A =
Nesse determinante, a fila que tem o maior número de zeros é a 1a coluna; logo:
det A = 2 × A11 + = 2 × A11
Veja que o trabalho ficou bem menor. Agora, obtenha:
a) 2 × A11;
b) o determinante da matriz usando a 2ª linha;
c) compare os resultados dos itens a e b.

Propriedades dos determinantes
Vejamos um conjunto de propriedades que podem facilitar o cálculo de determinantes e que se baseiam nas características dos elementos que compõem as matrizes.
DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA
Se A é uma matriz quadrada qualquer, então: det A = det At
TROCA DE FILAS PARALELAS
Trocando as posição de duas linhas ou de duas colunas quaisquer de uma matriz quadrada A, obtém-se uma nova matriz B, tal que: det B = -det A
FILAS PARALELAS IGUAIS
Se uma matriz quadrada A apresenta duas linhas ou duas colunas iguais, então seu determinante será nulo. det A = 0
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada A por um número k, obteremos uma matriz B, tal que: det B = k×det A
FILAS PROPORCIONAIS
Se uma matriz quadrada A possui duas linhas ou colunas proporcionais, então seu determinante será nulo.
DETERMINANTE DO PRODUTO DE MATRIZES (TEOREMA DE BINET)
O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes de cada uma das matrizes. Assim, se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, temos: det (A×B) = det A×det B
DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA
Se uma matriz quadrada A admite inversa A-1, o determinante da inversa será o inverso do determinante da matriz. det A-1 =


15. Dado det A = 2 e A = , calcule os determinantes das seguintes matrizes:
a) B =
Dica: Compare a matriz B com a matriz A e veja o que ocorreu.
b) C =
c) D =
16. Justifique os determinantes nulos sem efetuar os cálculos.

a)

b)

c)

d)





Matrizes
Tipos De Matriz

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

1 x 3

Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:

5 x 1

Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:



Podendo ser representada por 03 x 2.

►Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:




Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.




►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:



►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:





►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:




A matriz oposta a ela é:




Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.


►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.



As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.












EXERCÍCIOS

Classifique as matrizes dadas quanto ao tipo e a ordem:


a) A= 1 3 b) B= 1 4 5 c) C= 1 d) D= 1 0 0
0 1 2 0 1 0
-1 0 0 1





Solução:

a) Matriz quadrada de ordem 2
b) Matriz linha do tipo 1x3
c) Matriz coluna do tipo 3x1
d) Matriz identidade de ordem 3 (I3)



Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Notações e definições
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m(i) linhas e n(j) colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C (linguagem de programação) e seus dialetos). Por exemplo, o elemento A(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.
[editar] Exemplos
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.


As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = ixj, para i de 1 a 15 e j de 1 a 25, define a matriz 15x25 .
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.


Multiplicação de Matrizes

Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, sendo registrada a igualdade podemos realizar a operação.
A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação.
Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna.

Observe o exemplo:

Exemplo 1



Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.


Exemplo 2

Em uma confecção são produzidos três modelos de calças: A, B e C. Sendo usado dois tipos de botões G (grande) e M (médio). O número de botões usado por modelo de calça é dado pela seguinte tabela:

O número de calças produzidas nos meses de novembro e dezembro é fornecido pela tabela a seguir:



De acordo com os dados fornecidos, calcule a quantidade de botões gastos nos meses referidos.


O cálculo da quantidade de botões pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas, pois elas constituem uma multiplicação entre matrizes.







No cotidiano, encontramos praticamente em qualquer lugar as matrizes sendo utilizadas nos mais diversos meios de comunicação. Se pararmos para observar vamos vê-la inserida nos meios de comunicação até numa simples pesquisa de opinião.
Sem duvida, ao estar presente nas nossas vidas com esta intensidade, a matriz fará parte importante na coleta de dados para a formação de opinião do individuo.
As matrizes estão presentes no dia-a-dia das pessoas, sendo usadas, por exemplo; em tabelas comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, promoções em geral, enfim na mídia como um todo.
É possível dizer que varias operações realizadas por cérebros eletrônicos como os computadores são fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, economia, física e nos mais diversos campos da ciência.

Podemos tomar como exemplo o aplicativo Microsoft Excel, planilha eletrônica que faz parte da suíte Microsoft Office da Microsoft Company, que é baseado totalmente em matrizes e a que se tornou um programa muito popular entre as empresas.
Na Educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz respeito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros comparativos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.
As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de medição de desempenho da instituição escolar.
No âmbito do ensino propriamente dito as matrizes desempenham um papel fundamental na formação do aluno, este é provocado a desenvolver seu raciocínio lógico e seu senso de organização confrontado com os problemas que envolvem as matrizes.
No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.
É necessário colocar mais empenho por parte da Escola no ensino das matrizes, e deste modo, desmistifica-las tirando delas o rotulo de matéria complicada.
Poderão ser dados exemplos do vasto uso das matrizes no cotidiano das pessoas, consequentemente o aluno poderá compreender, com maior clareza, a imensa gama de aplicações que esta matéria matemática nos proporciona.
A contribuição da matriz para a educação é, de fato, uma realidade, já que esta se faz presente em praticamente todos os campos da ciência e comunicação no dia-a-dia, fazendo parte da formação do individuo.
1 introdução
No cotidiano, encontramos praticamente em qualquer lugar as matrizes sendo utilizadas nos mais diversos meios de comunicação. Se pararmos para observar vamos vê-la inserida nos meios de comunicação até numa simples pesquisa de opinião.
Sem duvida, ao estar presente nas nossas vidas com esta intensidade, a matriz fará parte importante na coleta de dados para a formação de opinião do individuo.
2 DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Segundo Giovanni (2002) “As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase os ramos da ciência e engenharia”.
As matrizes estão presentes no dia-a-dia das pessoas, sendo usadas, por exemplo; em tabelas comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, promoções em geral, enfim na mídia como um todo.
É possível dizer que varias operações realizadas por cérebros eletrônicos como os computadores são fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, economia, física e nos mais diversos campos da ciência.
Podemos tomar como exemplo o aplicativo Microsoft Excel, planilha eletrônica que faz parte da suíte Microsoft Office da Microsoft Company, que é baseado totalmente em matrizes e a que se tornou um programa muito popular entre as empresas.
3 CONTRIBUIÇÕES Das matrizeS PARA A educação
Na Educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz respeito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros comparativos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.
As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de medição de desempenho da instituição escolar.
No âmbito do ensino propriamente dito as matrizes desempenham um papel fundamental na formação do aluno, este é provocado a desenvolver seu raciocínio lógico e seu senso de organização confrontado com os problemas que envolvem as matrizes.
No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.
4 Conclusão
É necessário colocar mais empenho por parte da Escola no ensino das matrizes, e deste modo, desmistifica-las tirando delas o rotulo de matéria complicada.
Poderão ser dados exemplos do vasto uso das matrizes no cotidiano das pessoas, consequentemente o aluno poderá compreender, com maior clareza, a imensa gama de aplicações que esta matéria matemática nos proporciona.

(Carlãoo, Jãoo e Rafão =D)

Fatorial


Fatorial é uma expressão que tem por função determinar um número sucessor com ajuda do anterior ou anteriores. Este procedimento é chamado de recursividade.

A notação que conhecemos n!(fatorial de n ), foi introduzida por Christian Kramp (Colônia,1808) em seu livro "Elements d'arithmétique universelle"


Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado. Logo o fatorial de n pode ser definido como:

Para todo n>=2, n!= n(n-1)(n-2)...1
Define-se ainda que:

Para n=0 temos que n!=1
Para n=1 temos que n!=1


Exemplo I:
a)
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1=2
3! = 3.2.1=6
4! = 4.3.2.1=24
5! = 5.4.3.2.1=120
.
.
.
n!= n(n-1)(n-2)...1

b) Também é importante destacar, que o desenvolvimento de um fatorial pode ser representado utilizando um outro fatorial menor. Nesse caso, trucamos (quebramos) o desenvolvimento de n! em um fator qualquer e utilizamos novamente o símbolo”!”.

Exemplo II:

a) 3!=3.2.1=6 desenvolvendo todo o produto sem truncar nenhum fator.
3!=3.2! = 6, pois foi truncado em 2!, e como 2!=2.1 então temos que 3.2!=6.
Este segundo método facilita quando temos valores muito grandes e conhecemos os valores dos fatoriais menores.

b)
4!=4.3.2!
4!=4.3!
10!=10.9.8.7.6!
15!=15.14.13.12.11.10!

Exemplos III:



Exemplos IV:



Exemplos V:



Exemplos VI:
Agora vamos trabalhar com letras.

Primeiro vamos verificar qual dos fatoriais é o maior. Como eu faço para descobrir isto?

Vamos dar valores a variável k.

Exemplo:

Se k=1 , temos que:

(k+1)!= (1+1)!=2!=2, e do mesmo modo.
Se k=1 temos que:

(k-1)!=(1-1)!=0!=1, (pela definição). Logo como 2>1, então o maior fatorial é (k+1)!.
Como a definição de fatorial nos diz que o desenvolvimento de um fatorial vai de n até 1, significa que temos que desenvolver o fatorial de k+1 até atingir o fator (k-1)!.
Ou seja, vamos truncar k+1 em k-1, para poder simplificar nosso problema.

Definição - n!=n(n-1)!
Logo (k+1)!= (k+1).k!

Colocamos k+1 no lugar do n da definição.
Colocamos (k+1) no lugar de (n-1)! Da definição.
(k+1-1)!=k

Mas ainda não chegamos ao fator (k-1)! Para truncar.
Bem! Qual o fatorial de k, ou k!?
Voltamos mais uma vez a definição.

n!=n(n-1)! Logo colocando k no lugar de n, ou seja, fazendo k=n na definição, temos.
K!=k(k-1)!.

Exercício Resolvido

1)Resolva: 9!
Resolução:
9! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1= 362.880

2)Simplifique: 39!

Resolução:
39! = 39x38!

3) Resolva:
Resolução:


Solução: S = {4}, pois não existe fatorial de número negativo.
(Caroline Pereira e Renan Estrada)




Fatorial
ANALISE COMBINATÓRIA E PRINCIPIO DA CONTAGEM

1 - Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
2 - Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
3 - Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
4 - Permutações simples
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
5 - Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.
6 - Arranjos simples
6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
7 - Combinações simples
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:


Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:


Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.



Introdução à Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com pArranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (pArranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (pCombinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (pc1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:





FATORIAL

Aplicação
Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.
Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):
n! = n (n − 1)!
Definição

A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo,

Note que esta definição implica em particular que

porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva

funcione para n = 0.
A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...


Como calcular fatorial
O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100.
Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:



Logaritmo de fatorial
O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:
Uma boa aproximação para log n! é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.


Generalidades

A função gamma

A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:


Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:
• Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
• Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
• Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).
Multifactoriais
Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.
n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

Por exemplo, 8!! = 2 • 4 • 6 • 8 = 384 e 9!! = 1 • 3 • 5 • 7 • 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:




Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).
O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

Hiperfactoriais
Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...
A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Superfactoriais
Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

No geral,

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequência A000178 na OEIS)
Esta idéia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim
1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (sequência A055462 na OEIS)
e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

onde mf(n,0) = n para n > 0 e mf(0,m) = 1.
Superfactoriais (definição alternativa)
Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobreposto) como

onde a notação (4) denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

Esta sequência de superfatoriais começa:




Fatoração prima de fatoriais
A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.
O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.
Exemplos de fatorial

Exemplo 1

3! = 3 * 2 * 1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800


Alguns cálculos envolvendo fatorial exigem algumas técnicas de simplificação e fatoração. Observe as demonstrações a seguir:

Exemplo 2

Vamos calcular o valor de 12! / 8! . Nesse caso, se desenvolvermos os fatoriais dos números e depois efetuarmos a divisão, o método de resolução estará correto. Mas essa forma de resolução pode se tornar complexa para números elevados, por isso devemos desenvolver o fatorial do maior número até chegarmos ao fatorial do menor número, simplificando os fatoriais semelhantes. Observe:


Exemplo 3

Outra forma de resolução de fatoriais é quando ocorre a soma de fatoriais. Nesse caso podemos utilizar a fatoração por evidência. Observe:

Exemplo 4

Outras situações exigem técnicas de desenvolvimento dos fatoriais para que simplificações sejam efetuadas. Veja:


n² + 2n + 3n + 6
n² + 5n +6


Exemplo 5

O fatorial de um número também está associado a equações. Observe os cálculos:

Solução = {4}


Exemplo 6

n2 – n = 42
n2 – n – 42 = 0

Desenvolvendo a equação do 2º grau temos:

n’ = 7 e n” = – 6

n = – 6 não convém, pois fatorial só é aplicado a números naturais. Portanto, S = {7}.

FATORIAL NO DIA - A - DIA

Na matemática o Fatorial de um número natural (n) é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a (n). Podemos representar o fatorial pelo símbolo n! que é lido como “fatorial de n”. Esta notação foi usada a primeira vez por Christian Kramp em 1808.
Acredito que grande parte dos estudantes aprende a definição de fatorial desta forma, mais vamos em frente.
Qual seria o Fatorial do número 5?
Usando a notação de Christian teríamos
O fatorial é muito usado...
Digamos que você tem um saco escuro (de tecido, Ok), e dentro deste saco você coloque 3 bolas: uma vermelha (VM), uma branca (BR) e uma amarela (AM). Agora aleatoriamente você tira uma a uma e anota a sequência, quantas sequências de bolas possíveis você poderia tirar deste saco?
1. VM – BR – AM
2. VM – AM – BR
3. BR – AM – VM
4. BR – VM – AM
5. AM – VM – BR
6. AM – BR – VM
Fácil não, mais se agora eu coloca-se mais uma bola, da cor Cinza? Desta vez são quatro bolas, qual seria a sequência?
Concordam que seria pouco prático tentar resolver esta conta desta forma, fazendo listinhas. É ai que entra o Fatorial, vamos ver o primeiro exemplo:

3 bolas – 3 cores fatorial = Fatorial n = n * (n-1) ou n! = n*(n-1)

3! = 3 x 2 x 1 = 6

Legal, chegamos a quantidade de possibilidades do exemplo 01, mais rápido e prático. E com quatro bolas, qual seria a possibilidade:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Vejam que uma única bola quadruplicou o resultado, temos agora 24 possibilidade. E se agora fossem 6 bolas?

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Com seis bolas precisaríamos de um dia inteiro para escrever as possibilidades na forma de listas.
Onde mais podemos usar fatorial no dia a dia:
• em estatísticas;
• em jogos de carta, probabilidades;
• em jogos como loteria;
• em química
• em qualquer tipo de sorteio ou seleção;
• e em uma lista interminável de coisas.
Veja, que um exemplo simples das “bolas no saco” , resolveriam o entendimento do fatorial.

EXERCICIOS

Brinde: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/conline/fatorial/fatorial.htm





31) (x+3)! + (x+2)! = 8(x+1)!