Matriz

Determinantes
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):


Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Determinante de uma matriz quadrada
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
A= a11 a12
a21 a22
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11 a22 - a21 a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
definimos o determinante de A, como:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Sarrus
Dada a matriz A de ordem 3:
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor amarela +a11a22a33
Produto cor verde +a12a23a31
Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Produto cor rosa -a11a22a33
Produto cor bege -a12a23a31
Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:



P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:




P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:






Determinantes
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:



P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:




P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:









Determinantes
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:



P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:

P12)
Exemplo:



Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:

1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:


A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:

A matriz At é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .
Produto de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

• O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
• det (A) = ½ A½ = ad - bc
Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:

.2 3 5
.1 7 4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.

P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.

P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde
aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resp: zero




Matrizes
Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Por exemplo:
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.


Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:
•
•

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:



b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:






Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:



P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:




P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:



P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:




P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:




P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:



P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:

P12)
Exemplo:

Determinantes
Determinante é um número que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo símbolo .
Assim, se , o determinante de é indicado por:

O cálculo de um determinante é efetuado através de regras específicas que estudaremos mais adiante. É importante ressaltarmos alguns pontos:
1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes.
2. O determinante não representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz é uma tabela, e não há significado falar em valor de uma tabela.
Determinante de Ordem
Dada uma matriz quadrada de ordem , o seu determinante é o número real :



Exemplo




Determinante de Ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a , determinante de ordem, é dado por:



Determinante de Ordem
Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus, que só se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante



passo:
Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

passo:
Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

passo:
Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:



Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento de uma matriz , quadrada de ordem , o determinante , de ordem , associado à matriz obtida de quando suprimimos a linha e a coluna que passam por . Por exemplo, dada a matriz



de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:



De modo análogo, para obtermos o menor complementar relativo ao elemento , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:



Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenção do menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente, por exemplo, sendo



de ordem 3, temos:



Cofator
Chama-se de cofator de um elemento de uma matriz quadrada o número tal que

Exemplo
Considerando
calcularemos o cofator . Temos que e , logo: . Devemos calcular .



Assim
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.
Desta forma, fixando , tal que , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , .
Exemplo:
Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace:



Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos:

Observação
Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo número real.
Propriedades dos determinantes
) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
) Se os elementos de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por .
) Para e matrizes quadradas de mesma ordem , . Como , .
) Se , então .
Pense um Pouco!
• Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas?
Exercícios de Aplicação

1. (ACAFE) O valor do determinante é:
a)
b)
c)
d)
e)

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem , com e com se , e se .
Determine:
a) a matriz
b) a matriz
c) a matriz
d) o determinante da matriz

3. (UDESC) A partir da matriz , onde , calcular o determinante do produto da matriz pela sua transposta, ou seja: , onde é a matriz transposta de .
Exercícios Complementares

4. (UNIFENAS) Dada a matriz o determinate de sua matriz inversa é:
a)
b)
c)
d)
e)

5. (MACK) e são matrizes quadrdas de ordem e . Sabe-se que e . Então:
a)
b)
c)
d)
e)

6. (PUC) O cofator do elemento da matriz é:
a)
b)
c)
d)
e)

7. (UDESC) Seja uma matriz quadrada de ordem , apresentada abaixo, cujo determinante é igual a .



Considerando , determinar o valor de .








Determinantes
A matriz e os determinantes não são encontrados apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, tabelas financeiras, e dentre outras. Uma matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m e n, onde n ≥ 1 e m ≥ 1.
Para representar essas linhas e colunas devemos obedecer as regras, dependendo do número de linhas e colunas a matriz recebe um nome e podemos também aplicar nelas as quatro operações.

Determinante é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo numero de linhas e o mesmo número de colunas que é chamada de matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas tem as suas propriedades, como achar o valor numérico de um determinante.

Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de colunas).

• Determinantes de matrizes de ordem 1

Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]

O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:

det A = | 1 | = 1

det B = | -5 | = -5

OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes.

• Determinantes de matrizes de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada uma matriz de ordem 2:




O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.


Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2

• Determinantes de matrizes de ordem 3

O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo diferente. Veja como é feito.

Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A:



Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais, veja:



Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.

det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59

Esse processo é chamado de regra de Sarrus.














a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64

RESPOSTA: D


a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4

RESPOSTA: A


a) não se define;
b) é uma matriz de determinante nulo;
c) é a matriz identidade de ordem 3;
d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
e) não é matriz quadrada.

RESPOSTA: B


a) duas linhas proporcionais;
b) duas colunas proporcionais;
c) elementos negativos;
d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;
e) duas filas paralelas iguais.

RESPOSTA: D


a) -9
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9

RESPOSTA: E


é igual a:

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11

RESPOSTA: C



RESOLUÇÃO: det M = 21


a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) 3

RESPOSTA: D



a) x > 2
b) 0 < x < 5
c) x < -2
d) x > 5
e) 1 < x < 2

RESPOSTA: C





a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 1131

RESPOSTA: C






Matrizes
Sejam m e n dois números naturais não nulos. Chama-se matriz do tipo m ´ n (lê-se m por n) qualquer tabela de m × n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Uma matriz A genérica, do tipo m ´ n, pode ser representada da seguinte maneira:



1. Construa a matriz A = (aij)3´3 tal que aij = i + j. Note que a matriz A é quadrada de ordem 3, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas, pois foi explicitado que é do tipo 3 ´ 3.
A =
Calcule cada elemento da matriz conforme a lei de formação - aij = i + j - atribuindo os valores 1, 2 e 3, para i e j.
aij = i + j
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a13 = 1 + 3 = 4
Já construímos a primeira linha. Agora, calcule os outros elementos da matriz A.
A =

Igualdade de matrizes
Dizemos que duas matrizes A e B, do mesmo tipo m ´ n, são matrizes iguais se e somente se cada elemento de A é igual ao elemento correspondente em B. Assim, para A = (aij)m ´ n e B = (bij)m ´ n, teremos:
A = B Û aij = bij

2. Obtenha o valor de x e de y na igualdade .
Operações com matrizes

ADIÇÃO DE MATRIZES
Sejam duas matrizes quaisquer do mesmo tipo m ´ n. A adição das matrizes A e B é uma matriz C, também do tipo m ´ n, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes de A e B.
A = (aij)m ´ n, B = (bij)m ´ n e C = (cij)m ´ n

3. Efetue a adição das matrizes indicada abaixo:


SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sejam duas matrizes A e B quaisquer do mesmo tipo m ´ n. A subtração das matrizes A e B é uma matriz C, do mesmo tipo m ´ n, que se obtém adicionando as matrizes A e -B, isto é:
C = A - B = A + (-B)

4. Dadas as matrizes A = e B = :
a) encontre a matriz -B;
b) calcule A - B, isto é A + (-B).

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Seja A uma matriz qualquer e a um número real qualquer. O produto de a por A é uma matriz denotada por a × A, do mesmo tipo de A, que se obtém multiplicando todos os elementos de A por a.

5. Efetue as operações sendo dadas as matrizes A = e B = :
a) A
b) B
c) (A + B)

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dadas as matrizes A e B quaisquer, o produto A × B estará definido se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Uma vez respeitada essa condição, o produto de A por B será uma matriz C, tal que:

Am ´ n × Bn ´ p = Cm ´ p

6. Efetue a multiplicação entre as matrizes A = e B = .
Faça agora as operações entre a 2ª linha de A com a 1ª coluna de B e complete a matriz resultante:
A × B = =
7. A dieta chamada dia-a-dia consiste em alimentos do tipo X e Y. A matriz N representa a composição dos nutrientes 1, 2 e 3 em porções de 200 gramas de alimento.

As matrizes C, A e J representam quantas porções de cada alimento se podem ingerir diariamente no café da manhã, almoço e jantar, respectivamente.

Calcule e interprete os seguintes produtos de matrizes:
a) CN;
b) AN;
c) JN.

MATRIZ INVERSA
Duas matrizes A e B, quadradas de ordem n, são inversas se e somente se ocorrer:
A × B = B × A = In (In é a matriz identidade de ordem n)
A matriz inversa de uma matriz A é denotada pelo símbolo A-1.

8. Determine a inversa da matriz A = . Para determinar a inversa de uma matriz, devemos resolver a equação matricial A × A-1 = In. Assim, temos:
. = ® =
Resolva os sistemas e encontre o valor de a, b, x e y, encontrando assim a matriz A-1.

9. Obtenha o elemento a12 da matriz inversa de A =

Determinantes
A toda matriz quadrada A está associado um número denominado determinante de A, que denotamos por det A.
DETERMINANTE DE ORDEM 1
O determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz.
A = (a) Þ det A = a
DETERMINANTE DE ORDEM 2
O determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos elementos da diagonal principal subtraído do produto dos elementos da diagonal secundária.

DETERMINANTE DE ORDEM 3
Para a matriz de 3ª ordem
A = Þ det A = aqz + brx + cpy - cqx - bpz - ary
Podemos empregar a regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuar os produtos:



10. Calcule os seguintes determinantes:
a)
Dica: Use a adição e a subtração de arcos estudadas no capítulo de trigonometria.
b)
Dica: Antes de resolver o determinante, calcule cada logaritmo.
11. Determine o conjunto solução da equação = 0
Dica: Ao definir o determinante, você terá que resolver uma equação exponencial.

Menor complementar
Chama-se menor complementar do elemento aij o determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j às quais pertence o elemento aij. O menor complementar de um elemento aij é denominado Mij.

12. Dada a matriz A = , calcule M11
Inicialmente, elimine a 1ª linha e a 1ª coluna, uma vez que o menor complementar é do elemento a11.

Os números que sobraram formam o menor complementar. Devemos calcular seu determinante.
M11 = = 2 - 15 = -13; logo, M11 = -13.
Calculemos M13.
Devemos eliminar a 1ª linha e a 3ª coluna.

Eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna, sobrou uma matriz de ordem 2. Devemos calcular seu determinante.
M13 = = 6 - 3 = 3; logo, M13 = 3.
Calcule agora o menor complementar de:
a) M22;
b) M31.

Cofator
Dados uma matriz A, quadrada, de ordem n ³ 2, e aij, um elemento qualquer de A. Chama-se cofator do elemento aij e indica-se por Aij o número definido por:
Aij = (-1)i+j × Mij
em que Mij é o menor complementar de aij.
Dica: Para facilitar o cálculo do cofator, lembre-se de que:
Ø se i + j for par ® (-1)i+j = 1;
Ø se i + j for ímpar ® (-1)i+j = -1.

13. Dada a matriz A = :
a) calcule det A;
b) calcule A31, A32 e A33;
c) compare det A com a31A31 + a32A32 + a33A33

Teorema de Laplace
Para calcularmos o determinante de uma matriz qualquer, usaremos o teorema de Laplace. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. De forma genérica, o teorema de Laplace pode ser enunciado para um elemento aij qualquer de uma matriz A, quadrada de ordem n, da seguinte forma:
det A = (escolhendo uma linha i)
ou
det A = (escolhendo uma coluna j)


14. Calcule o determinante
det A =
Nesse determinante, a fila que tem o maior número de zeros é a 1a coluna; logo:
det A = 2 × A11 + = 2 × A11
Veja que o trabalho ficou bem menor. Agora, obtenha:
a) 2 × A11;
b) o determinante da matriz usando a 2ª linha;
c) compare os resultados dos itens a e b.

Propriedades dos determinantes
Vejamos um conjunto de propriedades que podem facilitar o cálculo de determinantes e que se baseiam nas características dos elementos que compõem as matrizes.
DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA
Se A é uma matriz quadrada qualquer, então: det A = det At
TROCA DE FILAS PARALELAS
Trocando as posição de duas linhas ou de duas colunas quaisquer de uma matriz quadrada A, obtém-se uma nova matriz B, tal que: det B = -det A
FILAS PARALELAS IGUAIS
Se uma matriz quadrada A apresenta duas linhas ou duas colunas iguais, então seu determinante será nulo. det A = 0
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada A por um número k, obteremos uma matriz B, tal que: det B = k×det A
FILAS PROPORCIONAIS
Se uma matriz quadrada A possui duas linhas ou colunas proporcionais, então seu determinante será nulo.
DETERMINANTE DO PRODUTO DE MATRIZES (TEOREMA DE BINET)
O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes de cada uma das matrizes. Assim, se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, temos: det (A×B) = det A×det B
DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA
Se uma matriz quadrada A admite inversa A-1, o determinante da inversa será o inverso do determinante da matriz. det A-1 =


15. Dado det A = 2 e A = , calcule os determinantes das seguintes matrizes:
a) B =
Dica: Compare a matriz B com a matriz A e veja o que ocorreu.
b) C =
c) D =
16. Justifique os determinantes nulos sem efetuar os cálculos.

a)

b)

c)

d)





Matrizes
Tipos De Matriz

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

1 x 3

Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:

5 x 1

Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:



Podendo ser representada por 03 x 2.

►Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:




Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.




►Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:



►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:





►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:




A matriz oposta a ela é:




Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.


►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.



As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.












EXERCÍCIOS

Classifique as matrizes dadas quanto ao tipo e a ordem:


a) A= 1 3 b) B= 1 4 5 c) C= 1 d) D= 1 0 0
0 1 2 0 1 0
-1 0 0 1





Solução:

a) Matriz quadrada de ordem 2
b) Matriz linha do tipo 1x3
c) Matriz coluna do tipo 3x1
d) Matriz identidade de ordem 3 (I3)



Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Notações e definições
As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m(i) linhas e n(j) colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C (linguagem de programação) e seus dialetos). Por exemplo, o elemento A(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.
[editar] Exemplos
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.


As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = ixj, para i de 1 a 15 e j de 1 a 25, define a matriz 15x25 .
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
Algumas definições
A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.
►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.


Multiplicação de Matrizes

Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, sendo registrada a igualdade podemos realizar a operação.
A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação.
Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna.

Observe o exemplo:

Exemplo 1



Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.


Exemplo 2

Em uma confecção são produzidos três modelos de calças: A, B e C. Sendo usado dois tipos de botões G (grande) e M (médio). O número de botões usado por modelo de calça é dado pela seguinte tabela:

O número de calças produzidas nos meses de novembro e dezembro é fornecido pela tabela a seguir:



De acordo com os dados fornecidos, calcule a quantidade de botões gastos nos meses referidos.


O cálculo da quantidade de botões pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas, pois elas constituem uma multiplicação entre matrizes.







No cotidiano, encontramos praticamente em qualquer lugar as matrizes sendo utilizadas nos mais diversos meios de comunicação. Se pararmos para observar vamos vê-la inserida nos meios de comunicação até numa simples pesquisa de opinião.
Sem duvida, ao estar presente nas nossas vidas com esta intensidade, a matriz fará parte importante na coleta de dados para a formação de opinião do individuo.
As matrizes estão presentes no dia-a-dia das pessoas, sendo usadas, por exemplo; em tabelas comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, promoções em geral, enfim na mídia como um todo.
É possível dizer que varias operações realizadas por cérebros eletrônicos como os computadores são fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, economia, física e nos mais diversos campos da ciência.

Podemos tomar como exemplo o aplicativo Microsoft Excel, planilha eletrônica que faz parte da suíte Microsoft Office da Microsoft Company, que é baseado totalmente em matrizes e a que se tornou um programa muito popular entre as empresas.
Na Educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz respeito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros comparativos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.
As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de medição de desempenho da instituição escolar.
No âmbito do ensino propriamente dito as matrizes desempenham um papel fundamental na formação do aluno, este é provocado a desenvolver seu raciocínio lógico e seu senso de organização confrontado com os problemas que envolvem as matrizes.
No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.
É necessário colocar mais empenho por parte da Escola no ensino das matrizes, e deste modo, desmistifica-las tirando delas o rotulo de matéria complicada.
Poderão ser dados exemplos do vasto uso das matrizes no cotidiano das pessoas, consequentemente o aluno poderá compreender, com maior clareza, a imensa gama de aplicações que esta matéria matemática nos proporciona.
A contribuição da matriz para a educação é, de fato, uma realidade, já que esta se faz presente em praticamente todos os campos da ciência e comunicação no dia-a-dia, fazendo parte da formação do individuo.
1 introdução
No cotidiano, encontramos praticamente em qualquer lugar as matrizes sendo utilizadas nos mais diversos meios de comunicação. Se pararmos para observar vamos vê-la inserida nos meios de comunicação até numa simples pesquisa de opinião.
Sem duvida, ao estar presente nas nossas vidas com esta intensidade, a matriz fará parte importante na coleta de dados para a formação de opinião do individuo.
2 DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Segundo Giovanni (2002) “As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase os ramos da ciência e engenharia”.
As matrizes estão presentes no dia-a-dia das pessoas, sendo usadas, por exemplo; em tabelas comparativas de preços, para demonstrar oscilações no mercado financeiro, promoções em geral, enfim na mídia como um todo.
É possível dizer que varias operações realizadas por cérebros eletrônicos como os computadores são fundamentadas nas matrizes, sendo estas utilizadas largamente na estatística, economia, física e nos mais diversos campos da ciência.
Podemos tomar como exemplo o aplicativo Microsoft Excel, planilha eletrônica que faz parte da suíte Microsoft Office da Microsoft Company, que é baseado totalmente em matrizes e a que se tornou um programa muito popular entre as empresas.
3 CONTRIBUIÇÕES Das matrizeS PARA A educação
Na Educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz respeito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros comparativos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.
As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de medição de desempenho da instituição escolar.
No âmbito do ensino propriamente dito as matrizes desempenham um papel fundamental na formação do aluno, este é provocado a desenvolver seu raciocínio lógico e seu senso de organização confrontado com os problemas que envolvem as matrizes.
No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.
4 Conclusão
É necessário colocar mais empenho por parte da Escola no ensino das matrizes, e deste modo, desmistifica-las tirando delas o rotulo de matéria complicada.
Poderão ser dados exemplos do vasto uso das matrizes no cotidiano das pessoas, consequentemente o aluno poderá compreender, com maior clareza, a imensa gama de aplicações que esta matéria matemática nos proporciona.

(Carlãoo, Jãoo e Rafão =D)