Teorema de Pitagoras
O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:


Não se sabe ao certo qual foi a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela foi feita através da comparação de áreas, conforme se segue:
Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.







1. Desenha-se um quadrado de lado b + a;
2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
3. Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a b2 + a2;
5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas colocamos os quatro triângulos retos em outra posição.
6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a c2.
Como b2 + a2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c2 representa a mesma área, b2 + c2 = a2. Ou seja: em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida a foi chamado de hipotenusa e os de medida b e c foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema. Nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.


Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base este famoso teorema
Por semelhança de triângulos





Multiplicando tudo por c:

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em diversas figuras:
Quadrado



A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, podemos definir que:



Triângulo equilátero
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes; sendo l o lado e h a altura, podemos definir que:




Seja A = (x1,y1) e B = (x2,y2). Para auxiliar, seja C = (x2,y1).
Como A e C possuem mesma ordenada, .
Como B e C possuem mesma abcissa,
Então
Generalizações
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.
O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

O teorema de Pitágoras na geometria esférica e hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O Teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:
na geometria esférica, tem-se

na geometria hiperbólica tem-se


Circunferência inscrita num triângulo retângulo
O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:
a + b = c + d

*a = cateto
*b = cateto
*c = hipotenusa
*r = raio da circunferência inscrita
*d = diâmetro da circunferência inscrita

Substituindo I e II em III, teremos

Como
Os Pitagoricos

“Os números são o princípio, a fonte e a raiz de todas as coisas”
Frase proferida por Pitágoras

Este era o princípio da Escola pitagórica, a qual atribuem-se inúmeras contribuições nos ramos da Matemática, Geometria e Filosofia. A confraria pitagórica foi uma seita secreta, de caráter religioso, que reuniu cerca de 300 jovens homens que se dedicavam ao estudo da Matemática e da Filosofia. Eles participavam ativamente da política local, apesar de não se misturarem com os outros cidadãos, e usavam essas duas disciplinas para a formação moral dos participantes, que viviam juntos no Centro em Crotona - cidade da península itálica - em regime de comunhão de bens.

O símbolo da confraria pitagórica era uma estrela de cinco pontas (ou vértices) dentro de um pentágono. A divisão exata dos segmentos da estrela mostra que eles já sabiam como fazer a divisão de segmentos de retas e já conheciam os números racionais.






Estrela Pitagórica

Todos os ensinamentos da doutrina pitagórica deveriam ser mantidos em segredo total, caso contrário, o “traidor” seria expulso da seita. Algumas histórias contam que os membros que revelassem algum ensinamento para pessoas de fora eram amarrados em barcos e deixados à deriva em alto-mar. Outras histórias contam que os pitagóricos construíam lápides para o delator, simbolizando sua morte.

Pitagóricos conhecidos

De alguns dos pitagóricos mais importantes só se sabe o nome, mas a maioria é desconhecida. E dos conhecidos sabe-se muito pouco. Vários fatos sobre eles são obscuros e não confirmados. O que se afirma com certeza é que todos foram brilhantes matemáticos e pensadores.
Pitágoras de Samos: foi um filósofo grego do período pré-socrático. Nasceu no ano 570 a.C. em Samos, uma ilha do litoral da Grécia, no Mar Egeu. Conta-se que ele viajou pela Pérsia, Creta e Egito. Mudou-se para Crotona quando tinha entre trinta e quarenta anos. Era respeitado na cidade como um grande sábio, e os moradores comentavam que ele tinha poderes sobrenaturais, como a capacidade de estar em vários lugares ao mesmo tempo e recordar suas vidas passadas. Quando já estava no final da vida, divergências políticas causaram sua expulsão da cidade e ele foi obrigado a ir morar em Metaponto, cidade ao norte de Crotona da qual era aliada, onde morreu por volta de 500 a.C. ou 495 a.C.. Apesar de ser bastante conhecido, a sua existência é muito questionada, mas o pitagorismo (sua doutrina) não é alvo de dúvidas, além de ser considerado muito importante. “O pitagorismo foi o meio no qual a Filosofia tornou-se, pela primeira vez, tanto uma maneira de viver quanto uma disciplina de especulação intelectual” - J.V. Luce

Pitágoras de Samos
Filolaus de Crotona: era um pensador de Crotona, nascido no século V a.C.. Pouco se sabe sobre ele, mas é dito que, após a destruição da Escola pitagórica, ele morou algum tempo em Tebas (Egito) e escreveu um livro a respeito dos pitagóricos. Ele foi chefe da Escola de Tebas e continuou sua atividade até a morte, no início do século IV a.C.. Filolaus de Crotona foi médico, astrônomo e concebeu um sistema referente ao Universo no qual a Terra não era um astro privilegiado, e sim, um corpo celeste igual aos outros.
Arquitas de Taranto: nascido em Taranto, na Magna Grécia, no ano 430 a.C., foi general, estadista e filósofo grego. Na Escola Pitagórica, era interessado pela astronomia, mecânica e pela Teoria musical. Principal representante da Escola de Taranto, cuja maior obra foi o estabelecimento da terminologia geométrica. Por ser um excelente estrategista, garantiu que Taranto fosse considerada, durante vários anos, o centro econômico e intelectual da Itália. Morreu em 360 a.C.


“Números formam o Universo todo” - afirmação de Filolaus de Crotona

O que os discípulos de Pitágoras queriam dizer com essa afirmação é que não só os objetos físicos e reais, os seres viventes e o próprio homem, como os fenômenos atmosféricos, os corpos celestes e os movimentos existiam devido aos números. Muitas das suas crenças conhecidas hoje são de veracidade duvidável devido ao voto de silêncio dos pitagóricos. No entanto, é certo que eles acreditavam que tudo era regido por números e, se algo não pudesse ser explicado por números, não existia. Para eles, os números e as figuras geométricas tinham “poderes especiais”, sendo que o Criador do Universo (Deus) era um geômetra.
Essa crença surgiu após a constatação pelos pitagóricos de que a harmonia musical e as figuras geométricas podiam ser explicadas pelos números, além de que todas as coisas podiam ser contadas.
Eles haviam descoberto uma relação numérica simples na harmonia musical. Por isso, acreditavam que as mesmas relações da harmonia musical também regiam a harmonia do Universo no que eles chamavam de “a música das esferas”. De acordo com essa teoria, os intervalos entre os corpos celestes e o “grande fogo central” corresponderiam aos intervalos da escala musical, produzindo uma melodia que seria inaudível aos ouvidos humanos. Essa crença remete à idéia de que a natureza também pode ser explicada através de cálculos, essencial à Física. Essa relação entre harmonias também era usada para tentar explicar a psique ou alma humana.

Supunham, também, que todos os corpos, seres viventes e sólidos geométricos eram formados “por átomos em certa quantidade”, as mônadas. Diziam que essa quantidade poderia ser muito grande, mas era FINITA (isso leva a crer que eles acreditavam que o Universo era finito).

Acreditavam que os números eram iguais à matéria. Assim, o número “um” era um ponto; o número “dois” era uma reta; o “três” era uma superfície; e o “quatro” era um sólido (geométrico). A soma de cada elemento gerava outro. Por exemplo, pontos somados geravam retas; a soma das retas gerava superfícies que, somadas, geravam os sólidos. Desta maneira, “um”, “dois”, “três” e “quatro” construíam ou geravam tudo! Estes números somados são iguais a “10”, motivo pelo qual o número “dez” era especial para os pitagóricos. Eles o representavam como um triângulo, que era chamado de “o triângulo perfeito”, denominado tetraktys, que significa conjunto de quatro elementos. Este número significava tanto para os pitagóricos que eles o viam como a base para tudo e acreditavam que o próprio Criador do Universo havia confiado ao tetraktys a alma dos seres, a fonte e a origem da Natureza. Com esse pensamento, eles revolucionaram o sistema numérico, criando o sistema decimal de numeração, usado por todos os povos ocidentais até os dias presentes.
Tal era sua fascinação pelos números que os pitagóricos lhes deram nomes e qualidades. Os números eram classificados em masculinos e femininos, pares e ímpares, perfeitos e imperfeitos. Os números pares eram considerados femininos, e os ímpares - exceto o “1”- eram considerados masculinos. O “5” representava o casamento por ser a junção do primeiro número feminino - 2 - com o primeiro número masculino - 3. O “1” era a fonte de todos os outros, sendo também chamado de “Deus”. O “2” também era conhecido por “Intelecto”, a fonte de todas as idéias, e o “3”, de “Filho”, o terceiro elemento da família. O “4” significava “Matéria, e o “5”, além de casamento, também era chamado de “Caos”. O “6” representava a “Confusão”; o “7” era o “Sol”; o “8” era “Apolo”, o Deus grego do Sol e das Belas Artes; e o “9” era “Atlas”, o Titã da mitologia grega que sustentava os céus. As qualidades sobrenaturais atribuídas aos números (não só pelos pitagóricos) deram origem à Numerologia, que acredita que os números regem a vida e o destino das pessoas.
Também estabeleciam relações entre os números. Uma curiosidade muito interessante é a relação entre os números 220 e 284, chamados de “Amigos”. Todos os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, excluindo o próprio 220. Se somados, eles resultam em 284. Fazendo o mesmo com 284, os divisores serão 1, 2, 4, 71 e 142, que somados resultarão em 220. Eles também encontraram um “número perfeito”, que é um número resultante da soma de seus divisores, e o “número de ouro”, que era a razão entre o maior e o menor segmento da Estrela que era seu símbolo.
No entanto as crenças pitagóricas não envolviam apenas números. Como a seita tinha caráter religioso, eles tinham crenças que explicavam a existência ou não-existência humana, estudadas por eles na Filosofia. Os pitagóricos pregavam que o corpo humano era o “túmulo da alma”. Quando o corpo (prisão) morria, a alma se libertava e renascia. Diziam que para manter a alma imaculada e limpa durante seu confinamento, era proibido comer favas (vagens), galos brancos e alguns tipos de peixes e não podiam apanhar o alimento que caísse das mesas.
Tinham que manter a alma limpa pois acreditavam na metempsicose ou transmigração da alma. Esta, que é uma das crenças mais difundidas dos pitagóricos, dizia que a mesma alma podia animar diferentes corpos, não importando se eram de origem vegetal, animal ou mineral. Este ciclo de reencarnações da alma tinha por objetivo purificá-la - caso houvesse alguma maldade nela - para que, no final do ciclo, a alma pudesse alcançar o paraíso ou a Ilha dos Bem-Aventurados.
Escreveram uma escatologia pitagórica, que é um tratado sobre as ações finais do homem ou de sua alma. Diz o tratado que “a alma, após a morte do corpo, está sujeita a um julgamento divino. Aquelas que forem perversas serão castigadas nos mundos inferiores e aquelas que forem boas, ou não possuírem maldade, alcançarão a Ilha dos Bem-Aventurados”.

Criações Pitagóricas

Mas os pitagóricos não viviam somente de crenças. O seu estudo compreendia o que hoje chamamos de números racionais, usados por eles no estudo da Música, uma das quatro vertentes principais da Matemática, que eram Geometria, Aritmética, Astronomia e Música. No entanto, sua descoberta mais importante foi o Teorema de Pitágoras, ou Propriedade Fundamental dos Triângulos Retângulos, aplicável a todos os triângulos retângulos. Esta propriedade diz que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa” (A2=B2+C2, sendo “A” a hipotenusa e “B” e “C” os catetos). A sua importância é tão grande que, mesmo após 2000 anos de existência, ele continua sendo estudado e utilizado.




Teorema de Pitágoras

O Teorema é usado até hoje na construção de telhados triangulares para as casas, calculando as medidas que as vigas do traçado principal devem ter, respeitando a inclinação e outros fatores como, por exemplo, o tipo de telha. É muito usado na construção civil, pois muitos dos elementos de uma construção (paredes, portas etc.) se relacionam através de ângulos retos. A própria construção é perpendicular ao chão. Aliás, foi quando começaram as construções de grandes templos e casas que surgiu a necessidade da construção de ângulos retos.



Vigas principais de um telhado

No entanto, como eles comprovaram que todos os triângulos retângulos estavam sujeitos ao Teorema de Pitágoras? Os pitagóricos desenvolveram um método de raciocínio lógico denominado Método Dedutivo, que prova a veracidade de um fato através de argumentos lógicos, precisos e irrefutáveis. Este método é usado em várias ciências até hoje devido a sua importância e eficácia. Um exemplo clássico são os detetives. Eles usam esta técnica para seguir apenas o provável culpado e descartarem os demais, através de provas ou verdades inquestionáveis. Mas sempre há um ponto de partida, que são as evidências prováveis. Simplificando, o Método Dedutivo parte de evidências, que são testadas. Se acontecer de várias experiências darem resultados iguais, foi encontrada uma “regularidade”. Esse processo de testes é chamado de Indução. Feito isso, aplicam-se as regularidades a casos específicos, no processo chamado de Dedução, que pode gerar novas evidências que serão novamente testadas por indução, até surgirem argumentos indiscutíveis e conclusivos. Assim, tanto os detetives quanto os matemáticos seguem o Método Dedutivo para provar suas idéias. As “verdades” constatadas deste modo são denominadas Teoremas (daí o nome TEOREMA de Pitágoras).
Os pitagóricos (ou o próprio Pitágoras) ainda criaram uma tábua de multiplicações, de forma quadrada que pode ter infinitos números, chamada de Tábua de Pitágoras. Essa tábua é aplicável a qualquer multiplicação.








Tábua Pitagórica

Os pitagóricos mudaram os conceitos atribuídos à Matemática pelas civilizações anteriores (egípcios e babilônios). Para aquelas civilizações, a Matemática era puramente prática, mas para os discípulos de Pitágoras, era uma disciplina filosófica, o que explica o fato de muitos dos seus rituais possuírem conceitos matemáticos. Assim, a Matemática foi incluída nas Ciências Naturais, e os matemáticos passaram a fazer parte da elite pensadora, junto com os filósofos.



O Número de Ouro

Este número, com valor aproximado igual a 1,61803398, é representado pela letra grega  (phi), em homenagem a Fídias (490-431 a.C.), escultor grego da estátua da deusa Atena e de Zeus, e arquiteto do Partenon, o templo da capital Atenas, porque é dito que ele usava o número em suas obras. Este é o primeiro número irracional registrado, e por se tratar da razão entre dois números, que sempre dará o mesmo resultado já citado, também é chamado de “razão áurea”. Os pitagóricos o utilizaram na idealização de sua Estrela. De fato, o número é a razão entre os segmentos da mesma, por isso, ela tem uma aparência regular e simétrica.
O número de ouro é usado para conferir harmonia e “perfeição” aos objetos, e isso fez com que muitos projetos de obras grandiosas usassem tal recurso. Exemplos disso são: a Monalisa de Leonardo Da Vinci, as Pirâmides de Gizé (Egito), o prédio das Nações Unidas em Nova Iorque (EUA), e mesmo objetos comuns como cartões de crédito.






O Fim da Escola Pitagórica

Uma descoberta matemática da Escola que surgiu por volta do ano 400 a.C. ameaçou destruir toda a doutrina pitagórica. A ironia é que a tal descoberta foi conseqüência direta de sua obra mais importante, o Teorema de Pitágoras.
Hipaso (um ilustre membro da Escola) de Metaponto (a mesma cidade onde Pitágoras morreu) demonstrou que nem sempre a razão numérica entre dois segmentos de reta resulta em um número racional. Hipaso demonstrou matematicamente que um número, raiz quadrada de dois ou de cinco - não há certeza -, não podia ser expresso como um número racional. Isto significava que nem todos os elementos podiam ser expressos através de números - inteiros ou racionais - e que existiam outros números além destes. Esta descoberta pôs fim à crença pitagórica de que tudo podia ser expresso ou explicado por números. Com isso, os participantes juraram nunca divulgar a notícia de que suas idéias haviam sido destruídas. Mas Hipaso de Metaponto divulgou sua descoberta para pessoas que não pertenciam à seita, motivo que o levou a ser expulso da confraria. Algumas histórias contam que, além de expulso, ele foi morto por afogamento, pois foi jogado, preso, por seus antigos colegas no mar. Mesmo assim, a idéia dos números irracionais não foi destruída (aliás, essa foi outra importante contribuição pitagórica para a humanidade). Conta-se que, após estes acontecimentos, os pitagóricos enlouqueceram ou caíram em profunda depressão e desgosto. O Centro em Crotona foi destruído por um grupo político rival, sendo que muitos dos membros foram assassinados.









Sobrevivência do Conhecimento

Caso tenha realmente existido, o mestre Pitágoras de Samos deixou muitas contribuições, sendo a mais importante e conhecida o Teorema de Pitágoras. Atribui-se a ele também a criação das palavras “Filosofia” (“amor à sabedoria”) e “Matemática” (“o que é aprendido”). Porém, ele nada escreveu da sua doutrina. Muito do conhecimento e da doutrina pitagóricos foi perdido, mas algumas de suas crenças e idéias foram salvas graças a Filolaus (ou Filolau) de Crotona, pois ele escreveu um livro a respeito, que teria sido adquirido mais tarde por Platão, outro importante filósofo grego da Antiguidade.
Conta-se que, após a destruição do Centro em Crotona, os sobreviventes se dispersaram por diversas cidades da Grécia, levando e espalhando seus conhecimentos e teorias. Alguns ainda foram lecionar em outras escolas, mas sempre levando suas idéias pitagóricas.

Se pensarmos como os pitagóricos, tudo o que temos à nossa volta depende, de alguma forma, de números. Eles pensavam sobre e conheciam apenas os números racionais, mas atualmente, conhecemos os números irracionais, negativos etc., o que nos permite, sim, dizer que tudo é formado, ou depende de alguma maneira para existir, dos números. Exemplos disso são os computadores, as pesquisas genéticas (o próprio formador dos seres vivos é ilustrado por meio de números) etc.. Além disso, as fórmulas da Física e da Matemática se aplicam à Natureza e aos fatores influenciadores dela, como os movimentos dos corpos e estados da matéria, admitindo a explicação dos pitagóricos de que tudo, pode ser explicado através dos números.
É isso que faz da Escola Pitagórica um evento tão importante para a história humana. Suas crenças nos números e suas conseqüentes descobertas influenciaram o pensamento da vida posterior, ajudando na compreensão do mundo e do Universo. Basta
imaginar como tudo seria mais complicado e menos duradouro sem o Teorema de Pitágoras, sem o sistema decimal, sem o Método Dedutivo e, lógico, sem a descoberta dos números irracionais.

(Adair, Marllon e Tiago)